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\begin{document}
	\raggedright
	\footnotesize
	\begin{multicols*}{4}
		% multicol parameters
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		\begin{center}
			\section*{Statistik 1}
		\end{center}
		\subsection{Basics}
		\textbf{Mittelwert:} $\bar{x}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$\\
		\textbf{Varianz:} $s^2= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{x}^2$\\
		\textbf{Standardabweichung:} $s = \sqrt{s^2}$
		\subsection{Diskrete Zufallsvariablen}
		\textbf{Erwartungswert:} $\mu=E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i)$\\
		\textbf{Varianz:} $\sigma=Var(X)=\sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2 \cdot P(X=x_i)$\\
		\textbf{Kovarianz:} $cov(X,Y)=(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i\cdot y_i))- (\bar{x}-\bar{y}) $\\
		\textbf{Korrelation:} $r_{X,Y}=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
		\subsection{Verteilungen}
		\subsubsection{Diskret}
		\textbf{Bernoulli:} $P(X=x)=p$ bzw. $1-p$,\\
		$E(X)=p, Var(X)=p-p^2$\\
		\textbf{Gleichvert:} $P(X=x)=\frac{1}{n}$,\\
		$E(X)=\frac{n+1}{2}, Var(X)=\frac{n^2-1}{12}$
		\textbf{Binomialvert:}\\
		$P(X=x)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$,\\
		$E(X)=np, Var(X)=n(p-p^2)$\\
		\textbf{Poissonvert:} $P(X=x)=\frac{\mu}{x!}e^{-\mu}$\\
		$E(X)=Var(X)=\mu=np$
		\subsubsection{Kontinuierlich}
		\textbf{Rechtecksvert:}\\
		$a \leq x \leq b : f(X)=\frac{1}{b-a}$\\
		$F(X)= \frac{1}{b-a}(x-a)$\\
		$E(X)=\frac{a+b}{2}, Var(X)=\frac{(a-b)^2}{12}$\\
		\textbf{Normalvert:}\\
		$X \sim N(\mu,\sigma)$\\
		$f(X)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma}))$\\
		$E(X)=\mu, Var(X)=\sigma^2$\\
		\textbf{Standardnormalvert:}\\
		$Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
		\begin{center}
			\section{Parameterschätzung}
		\end{center}
		\subsection{Kriterien von Schätzstatistiken}
		\textbf{Erwartungstreue:} $E(T)=\theta+Bias$, \\
		$T$ ist erwartungstreu $\Leftrightarrow E(T)=\theta$\\
		\textbf{Konsistenz:}	$\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} P(|T-\theta| < \epsilon)=1$\\
		\textbf{Wirksamkeit:}  $MSE= Var(T) + Bias(T)^2$ \\
		$MSE(T_1)<MSE(T_2) \Rightarrow T_1$ ist MSE-wirksamer\\
		$Var(T_1)<Var(T_2) \Rightarrow T_1$ ist wirksamer\\
		\subsection{Punktschätzung}
		\textbf{Maximum Likelihood-Schätzung:}\\
		$L(\theta)=f(x_1,...,x_n|\theta)$\\
		1. Funktion aufstellen ($\theta$ fü geschätzten Parameter)\\
		2. $L$ logarithmieren und ableiten\\
		3. Ableitung gleich 0 setzen $\Rightarrow$ Maximum\\
		4. Auflösen nach $\theta$\\
		\textbf{Kleinste-Quadrate-Methode}\\
		\textbf{Bayes-Schätzung}\\
		\subsection{Intervallschätzung}
		\textbf{Stichprobenmittelwert: $\mu$}\\
		$\sigma$ bekannt: $KI(1-\alpha)=\bar{x}\pm z_{(1-\frac{\alpha}{2})}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$\\
		$\sigma$ unbekannt: $KI(1-\alpha)=\bar{x}\pm z_{(1-\frac{\alpha}{2})}\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}$
		mit $\hat{\sigma}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$\\
		\textbf{KI für $\sigma$}\\
		$KI(1-\alpha)=[\sqrt{\frac{(n-1)\hat{\sigma}}{\chi^2_{(\frac{\alpha}{2})}}},\sqrt{\frac{(n-1)\hat{\sigma}}{\chi^2_{(1-\frac{\alpha}{2})}}}]$\\
		\textbf{KI für Auftretens-WK}\\
		$KI(1-\alpha)= \bar{X} \pm z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}$
		\begin{center}
			\section{Hypothesentests}
		\end{center}
		\subsection{Eine Stichprobe}
		\textbf{$\sigma$ bekannt:} z-Test \\
		(a) $H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$\\ 
		(b) $H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu < \mu_0$\\ 
		(c) $H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu > \mu_0$\\ 
		$z_{beob}=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n} \sim N(0,1)$
		
		(a) $|z_{beob}|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow H_1$\\
		(b) $z_{beob}<-z_{1-\alpha} \Rightarrow H_1$\\
		(c) $z_{beob}>z_{1-\alpha} \Rightarrow H_1$\\
		\textbf{$\sigma$ unbekannt:} t-Test\\
		(a) $H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$\\ 
		(b) $H_0: \mu \geq \mu_0, H_1: \mu < \mu_0$\\ 
		(c) $H_0: \mu \leq \mu_0, H_1: \mu > \mu_0$\\
		$t_{beob}=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\hat{\sigma}}\sqrt{n} \sim N(0,1)$\\
		(a) $|t_{beob}|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1) \Rightarrow H_1$\\
		(b) $t_{beob}<-t_{1-\alpha}(n-1) \Rightarrow H_1$\\
		(c) $t_{beob}>t_{1-\alpha}(n-1) \Rightarrow H_1$\\
		\subsection{Zwei Stichproben}
		\subsubsection{unabhängige Stichproben}
		\textbf{parametrisch:}\\
		$D = X - Y$ $(d_i=x_i-y_i)$\\
		\underline{Hypothesen:}\\
		(a)$H_0: \mu_X - \mu_Y = \delta_0, H_1:  \mu_X - \mu_Y \neq \delta_0$\\
		(b)$H_0: \mu_X - \mu_Y \geq \delta_0, H_1: \mu_X - \mu_Y<\delta_0$\\
		(c)$H_0: \mu_X - \mu_Y \leq \delta_0, H_1: \mu_X - \mu_Y > \delta_0$\\
		\underline{$\sigma$ gleich, bekannt:} 2-Stichproben-z-Test\\
		$z_{beob}=\frac{D-\delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n}+\frac{\sigma^2_Y}{m}}}=\frac{D-\delta_0}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}$\\
		(a) $|z_{beob}|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow H_1$\\
		(b) $z_{beob}<-z_{1-\alpha} \Rightarrow H_1$\\
		(c) $z_{beob}>z_{1-\alpha} \Rightarrow H_1$\\
		\underline{$\sigma$ gleich, unbekannt:} 2-StiPro-t-Test\\
		$t_{beob}=\frac{D-\delta_0}{\hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}$ mit $\hat{\sigma}=\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2_X+(m-1)\hat{\sigma}^2_Y}{n+m-2}$\\
		$df= n+m-2$\\
		(a) $|t_{beob}|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(df) \Rightarrow H_1$\\
		(b) $t_{beob}<-t_{1-\alpha}(df) \Rightarrow H_1$\\
		(c) $t_{beob}>t_{1-\alpha}(df) \Rightarrow H_1$\\
		\underline{$\sigma$ verschieden, unbekannt:} 2-SP-t-Test\\
		$t_{beob}=\frac{D-\delta_0}{\sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2_X}{n}+\frac{\hat{\sigma}^2_Y}{m}}}$\\
		$df= min(n,m)-1$\\
		(a) $|t_{beob}|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(df) \Rightarrow H_1$\\
		(b) $t_{beob}<-t_{1-\alpha}(df) \Rightarrow H_1$\\
		(c) $t_{beob}>t_{1-\alpha}(df) \Rightarrow H_1$\\
		\textbf{parameterfrei:} Wilcoxon-Rangsummen-Test\\
		Required: $min(m,n)\geq 4, n+m>30$\\
		Beobachtungen X+Y ordnen\\
		Kleinere Stichprobe aufsummieren\\
		$R=\sum R_i$ (Rang der $i$-ten Beobachtung)\\
		Unter $H_0$ alles Pos gleichwahrscheinlich\\
		$E(R|H_0)=\frac{n(n+m+1)}{2}$\\
		$Var(R|H_0)=\frac{nm(n+m+1)}{12}$\\
		$z_{beob}=\frac{R-E(R|H_0)}{\sqrt{Var(R|H_0)}}$
		%TODO Tuckeys Pocket Test
		\subsubsection{abhängige Stichproben} 
		\textbf{parametrisch:} \\
		$D = X - Y$ $(d_i=x_i-y_i)$\\
		Annahme: $D \sim N(\mu,\sigma_D)$\\
		\underline{Hypothesen:}\\
		(a)$H_0: \mu_X - \mu_Y = \delta_0, H_1:  \mu_X - \mu_Y \neq \delta_0$\\
		(b)$H_0: \mu_X - \mu_Y \geq \delta_0, H_1: \mu_X - \mu_Y<\delta_0$\\
		(c)$H_0: \mu_X - \mu_Y \leq \delta_0, H_1: \mu_X - \mu_Y > \delta_0$\\
		\underline{$\sigma_D$ bekannt:}\\
		$z_{beob}=\frac{\bar{D}-\delta_0}{\sigma_D}\sqrt{n} \sim N(0,1)$\\
		(a) $|z_{beob}|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow H_1$\\
		(b) $z_{beob}<-z_{1-\alpha} \Rightarrow H_1$\\
		(c) $z_{beob}>z_{1-\alpha} \Rightarrow H_1$\\
		\underline{$\sigma_D$ unbekannt:}\\
		$t_{beob}=\frac{\bar{D}-\delta_0}{\hat{\sigma}_D}\sqrt{n} \sim t(n-1)$\\
		(a) $|t_{beob}|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(df) \Rightarrow H_1$\\
		(b) $t_{beob}<-t_{1-\alpha}(df) \Rightarrow H_1$\\
		(c) $t_{beob}>t_{1-\alpha}(df) \Rightarrow H_1$\\
		\textbf{parameterfrei:}\\
		\underline{Vorzeichentest:}\\
		$H_0: p_+ = p_-, H_1: p_+ \neq P_-$\\
		1. Alle $d_i=x_i-y_i$ berechnen\\
		2. $i=\sum +$ berechnen\\
		3. $P(S=i)=\binom{n}{i}\cdot p^i(1-p)^{n-i}$\\
		4. Noch unrealistischere Werte berechnen ($P(S < i)$ oder $P(S > i)$)\\
		5. $P(S \leq i) \overset{?}{>} \alpha$ bzw. $P(S \geq i) \overset{?}{>} \alpha$\\
		6. $H_0$ wird verworfen, wenn $p < \alpha$
		\underline{Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test:}
		$H_0: E(R_+) = E(R_-)$\\
		1. Alle $d_i=x_i-y_i$ berechnen\\
		2. Allen $|d_i|$ einen Rang zuweisen
		3. Rangsummen berechnen für $d_i < 0 (R_-)$ und $d_i > 0 (R_+)$\\
		4. IF $n \geq 20$:\\
		$E(R_+)=\frac{n(n+1)}{4}$\\
		$Var(R_+)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}$\\
		$z_{beob}=\frac{R_+-E(R_+)}{\sqrt{Var(R_+)}} \sim N(0,1)$\\
		\subsection{Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten}
		Voraussetzung: $n_1\cdot \hat{p}_1(1-\hat{p}_1) > 9, n_2\cdot \hat{p}_2(1-\hat{p}_2) > 9$\\
		Prüfgröße: $D=\hat{p}_1-\hat{p}_2$\\
		$H_0: p_1 = p_2$\\
		Für $n>0$: $z_{beob}=\frac{D-0}{\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}}$
		\subsection{Vergleich zweier Varianzen}
		$F=\frac{max(\hat{\sigma}^2_A,\hat{\sigma}^2_B)}{min(\hat{\sigma}^2_A,\hat{\sigma}^2_B)}, df_{Zaehler},df_{Nenner}$
		\subsection{$\chi^2$ Anpassungstest}
		$H_0:$ bestimmte Verteilung liegt vor,\\
		$H_1:$ liegt nicht vor\\
		$h_i$ beobachtete Häufigkeit\\
		$e_i$ angenommene Häufigkeit\\
		Voraussetzung: $e_i\geq5$\\
		$S_{beob}=\sum_{i=1}^{r}\frac{(h_i-e_i)^2}{e_i}$, $S \sim \chi^2(r-1)$
		\subsection{$\chi^2$ Unabhängigkeitstest}
		$H_0:$ Merkmale unabhängig,\\
		$H_1:$ Merkmale abhängig\\
		1. Kontingenztabelle gegeben:\\
		$\begin{array}{c|c|c|c|c}
		&		&		&		& \sum\\
		\hline
		& h_{1,1} & h_{1,2} & h_{1,3} & h_{1,\bullet}\\
		\hline
		& h_{2,1} & h_{2,2} & h_{2,3} & h_{2,\bullet} \\
		\hline
		\sum & h_{\bullet, 1} & h_{\bullet, 2} & h_{\bullet,3} & n
		\end{array}$\\
		2. Neue Kontingenztabelle erstellen:\\
		$\begin{array}{c|c|c|c|c}
			&		&		&		& \sum\\
			\hline
			& \hat{e}_{1,1} & \hat{e}_{1,2} & \hat{e}_{1,3} & h_{1,\bullet}\\
			\hline
			& \hat{e}_{2,1} & \hat{e}_{2,2} & \hat{e}_{2,3} & h_{2,\bullet} \\
			\hline
			\sum & h_{\bullet, 1} & h_{\bullet, 2} & h_{\bullet,3} & n
		\end{array}$\\
		mit $\hat{e}_{i,j} = \frac{h_{i,\bullet} \cdot h_{\bullet, j}}{n}$\\
		3. 
		$\chi^2_{beob}= \sum_{j=1}^{r}\sum_{i=1}^{m}\frac{(h_{ij}-\hat{e}_{ij)}}{\hat{e}_{ij}}$\\
		4. $\chi^2_{krit}=\chi^2((r-1) \cdot (m-1))$
		\section{Varianzanalyse}
	\end{multicols*}
\end{document}