\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\pagestyle{empty}


\topmargin-50pt

\newcounter{aufgabe}
\def\tand{&}

\newcommand{\makeTableLine}[2][0]{%
  \setcounter{aufgabe}{1}%
  \whiledo{\value{aufgabe} < #1}%
  {%
    #2\tand\stepcounter{aufgabe}%
  }
}

\newcommand{\aufgTable}[1]{
  \def\spalten{\numexpr #1 + 1 \relax}
  \begin{tabular}{|*{\spalten}{p{1cm}|}}
    \makeTableLine[\spalten]{A\theaufgabe}$\Sigma$~~\\ \hline
    \rule{0pt}{15pt}\makeTableLine[\spalten]{}\\
  \end{tabular}
}

\def\header#1#2#3#4#5#6#7{\pagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{flushleft}
{\bf #4}\\
#5
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{flushright}
#6 \vspace{0.5cm}\\
%                 Number of Columns    Definition of Columns      second empty line
% \begin{tabular}{|*{5}{C{1cm}|}}\hline A1&A2&A3&A4&$\Sigma$\\\hline&&&&\\\hline\end{tabular}\\\vspace*{0.1cm}
\aufgTable{#7}
\end{flushright}
\end{minipage}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\bf Assignment #1}

{(Abgabe #3)}
\end{center}
}



%counts the exercisenumber
\newcounter{n}

%Kommando für Aufgaben
%\Aufgabe{AufgTitel}{Punktezahl}
\newcommand{\Aufgabe}[2]{\stepcounter{n}
\textbf{Aufgabe \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)\\}




\begin{document}
    %\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
    \header{1}{}{2015-04-28}{Mobile Robots}{
    	\textit{Jan-Peter Hohloch}\\ \textit{Maximus Mutschler}
    }{SS 15}{4}
    \vspace{1cm}

    \Aufgabe{}{7}
	    \begin{enumerate}[(a)]
		    \item $ \mathbf{R_z(\alpha)}=
    		   \begin{pmatrix}
    		   \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\
    		   \sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\
    		   0&0&1&0\\
    		   0&0&0&1
    		   \end{pmatrix}\\
    		   \\
    		   \mathbf{Trans}=
    		   \begin{pmatrix}
    		   1&0&0&t_x\\
    		   0&1&0&t_y\\
    		   0&0&1&t_z\\
    		   0&0&0&1
    		   \end{pmatrix}$
		   \item $\mathbf{T}_b= \mathbf{Trans}\cdot\mathbf{R_z(\alpha)}=
		   		   \begin{pmatrix}
		   		   \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&t_x\\
		   		   \sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&t_y\\
		   		   0&0&1&t_z\\
		   		   0&0&0&1
		   		   \end{pmatrix}\\$
		   \item  $\mathbf{T}_c= \mathbf{R_z(\alpha)\cdot\mathbf{Trans}}=
		   			   \begin{pmatrix}
		   			   \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\
		   			   \sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\
		   			   0&0&1&0\\
		   			   0&0&0&1
		   			   \end{pmatrix}\cdot
		   			    \begin{pmatrix}
		   			    1&0&0&t_x\\
		   			    0&1&0&t_y\\
		   			    0&0&1&t_z\\
		   			    0&0&0&1
		   			    \end{pmatrix} =\\
		   			    \begin{pmatrix}
		   			    \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&t_x\cos(\alpha)-t_y\sin(\alpha)\\
		   			    \sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&t_y\cos(\alpha)+t_x\sin(\alpha)\\
		   			    0&0&1&t_z\\
		   			    0&0&0&1
		   			    \end{pmatrix} $
		 \item \begin{align*}
            \mathbf{^BT_A} &=\mathbf{Trans}(2,-1,1)\cdot\mathbf{R_x}(90^\circ)\cdot\mathbf{R_y}(-90^\circ)\\
            &=\mathbf{Trans}(2,-1,1)\cdot \begin{pmatrix}
                1&0&0&0\\
                0&0&-1&0\\
                0&1&0&0\\
                0&0&0&1
            \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
                0&0&-1&0\\
                0&1&0&0\\
                1&0&0&0\\
                0&0&0&1
            \end{pmatrix}\\
            &=\begin{pmatrix}
                1&0&0&2\\
                0&1&0&-1\\
                0&0&1&1\\
                0&0&0&1
            \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
                0&0&-1&0\\
                -1&0&0&0\\
                0&1&0&0\\
                0&0&0&1
            \end{pmatrix}\\
            &=\begin{pmatrix}
                0&0&-1&2\\
                -1&0&0&-1\\
                0&1&0&1\\
                0&0&0&1
            \end{pmatrix}
             \end{align*}

      \item $ \mathbf{^AT_B} =
      \begin{pmatrix}
      0&0&1&-1\\
      -1&0&0&2\\
      0&-1&0&-1\\
      0&0&0&1\\
      \end{pmatrix}\\$

	    \end{enumerate}

    \Aufgabe{}{3}
     \begin{enumerate}[(a)]
     \item{Grid Based Representation}\\
     + p(x) directly determinable for every box\\
     - spatially limited on the size of the grid\\
     - possibilities unprecise due to boxes
     \item {Sampling Based Representation}\\
     +high accuracy \\+ unending domain\\- p(x) not directly determinable\\
     -  limited number of samples
     \item {Parameter Based Representation}\\
     +p(x) directly determinable for each x \\- possible low accuracy due to approximation

     \end{enumerate}
    \Aufgabe{}{5}
    Die Aufgabe wurde mit Hilfe von Mupad (symbolisches Rechen-Tool von Matlab)  gelöst, da die Rechnung von Hand zu umfangreich wurde. Der Rechenweg findet sich in Abbildung: \ref{RA3}.
    \begin{enumerate}[(a)]

    \item $ \mu_S =\begin{pmatrix}
    \frac{7}{3}\\
    \frac{7}{3}\\
    \frac{17}{6}\\
     \end{pmatrix}\\$

\item $\Sigma_S=
    \begin{pmatrix}
    	\frac{8}{3}&\frac{16}{15}&\frac{22}{15}\\
    	\frac{16}{15}&\frac{34}{15}&\frac{7}{15}\\
    	\frac{22}{15}&\frac{7}{15}&\frac{89}{30}\\
    \end{pmatrix}\\$

  \item $ N(\mu,\Sigma) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}e^{(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) )}\\
	|\Sigma_S|= \frac{264}{25}\\%TODO: wrong exponents?
	\Sigma^{-1} =
	 \begin{pmatrix}
	 \frac{61}{99}&\frac{-31}{132}&\frac{-53}{198}\\
	 \frac{-31}{132}&\frac{6}{11}&\frac{1}{33}\\
	 \frac{-53}{198}&\frac{1}{33}&\frac{46}{99}\\
	 \end{pmatrix}\\
	 P\begin{pmatrix}
		 2\\2\\3
	 \end{pmatrix}= 0.0184\\
    $
     \end{enumerate}
    \Aufgabe{}{5}
\begin{enumerate}[(a)]

\item $\mu_y= \begin{pmatrix}
2\\3
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
1&0.5\\0.5&2
\end{pmatrix}\\$
\item $\mu_y=\begin{pmatrix}
4\\-2
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
4&-2\\-2&8
\end{pmatrix}\\$
\item$ \mu_y=\begin{pmatrix}
\frac{2}{\Delta t}\\\frac{1}{\Delta t}
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
\frac{1}{(\Delta t)^2}&\frac{1}{2(\Delta t)^2}\\
\frac{1}{2(\Delta t)^2}&\frac{2}{(\Delta t)^2}
\end{pmatrix}\\$
\item $\mu_y=2\mu_x+3\mu_z=\begin{pmatrix}
    4\\2
\end{pmatrix}+3\mu_z\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
    2&0\\0&2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    1&0.5\\0.5&2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    2&0\\0&2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    2&0\\0&2
\end{pmatrix}\Sigma_z \begin{pmatrix}
    2&0\\0&2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    4&2\\2&8
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    2&0\\0&2
\end{pmatrix}\Sigma_z \begin{pmatrix}
    2&0\\0&2
\end{pmatrix}$

\end{enumerate}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{RechnungA3.pdf}
	\caption{\label{RA3} Lösungsweg Aufgabe 3. Mupad Skript}
	
\end{figure}

\end{document}