\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\pagestyle{empty}


\topmargin-50pt

\newcounter{aufgabe}
\def\tand{&}

\newcommand{\makeTableLine}[2][0]{%
  \setcounter{aufgabe}{1}%
  \whiledo{\value{aufgabe} < #1}%
  {%
    #2\tand\stepcounter{aufgabe}%
  }
}

\newcommand{\aufgTable}[1]{
  \def\spalten{\numexpr #1 + 1 \relax}
  \begin{tabular}{|*{\spalten}{p{1cm}|}}
    \makeTableLine[\spalten]{A\theaufgabe}$\Sigma$~~\\ \hline
    \rule{0pt}{15pt}\makeTableLine[\spalten]{}\\
  \end{tabular}
}

\def\header#1#2#3#4#5#6#7{\pagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{flushleft}
{\bf #4}\\
#5
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{flushright}
#6 \vspace{0.5cm}\\
%                 Number of Columns    Definition of Columns      second empty line
% \begin{tabular}{|*{5}{C{1cm}|}}\hline A1&A2&A3&A4&$\Sigma$\\\hline&&&&\\\hline\end{tabular}\\\vspace*{0.1cm}
\aufgTable{#7}
\end{flushright}
\end{minipage}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\bf Assignment #1}

{(Hand-in date #3)}
\end{center}
}



%counts the exercisenumber
\newcounter{n}

%Kommando für Aufgaben
%\Aufgabe{AufgTitel}{Punktezahl}
\newcommand{\Aufgabe}[2]{\stepcounter{n}
\textbf{Exercise \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)\\}




\begin{document}
    %\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
    \header{4}{}{2015-19-05}{Mobile Robots}{
    	\textit{Jan-Peter Hohloch}\\ \textit{Maximus Mutschler}
    }{SS 15}{3}
    \vspace{1cm}

	\Aufgabe{}{8}
	\begin{enumerate}[(a)]
	\item $v_R = sin(\frac{\pi}{2}-\theta_w+\phi)\cdot v_R  = v_R \cdot (sin(\frac{\pi}{2}-\theta_w)\cdot cos(\phi) + cos(\frac{\pi}{2}-\theta_w) \cdot sin(\phi))	
		$
	\item \begin{align*}
	v_1&= v_R \cdot (sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6})\cdot cos(\phi) + cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}) \cdot sin(\phi))-l ^R\omega\\
	&=v_R \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} cos(\phi)- \frac{1}{2} sin(\phi)-l ^R\omega\\	
	v_2&= v_R \cdot (sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2})\cdot cos(\phi) + cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}) \cdot sin(\phi))-l ^R\omega\\
	&=v_R \cdot sin(\phi) -l^R\omega\\
	v_3&= v_R \cdot (sin(\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6})\cdot cos(\phi) + cos(\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6}) \cdot sin(\phi))-l ^R\omega\\
	&=v_R \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2} cos(\phi)- \frac{1}{2} sin(\phi))-l ^R\omega\\
	^Rv_x &= v_R * cos(\phi)\\
	^Rv_y &= v_R * sin(\phi)\\
	\\ \Rightarrow
	\\ \begin{pmatrix}
	v_{w,1} \\
	v_{w,2}\\
	v_{w,3}\\
	\end{pmatrix} &= 
	\begin{pmatrix}
	\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} &-l\\
		1 & 0 &-l\\
			-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} &-l\\
	\end{pmatrix} \cdot 
	\begin{pmatrix}
	^Rv_x \\
	^Rv_y\\
	^R\omega\\
	\end{pmatrix} 
\end{align*}
	
	\end{enumerate}
	
	\Aufgabe{}{8}
	\begin{enumerate}[(a)]
			\item $	^bg=
			 ^b\mathbf{R}_w \cdot \begin{pmatrix}
			 0 \\ 0\\ -g
			 \end{pmatrix}
			$
			\item $
			^ba_m = ^bg+^ba_l\\
			$
			if  $ ^ba_m=0$ \\
			$
			^ba_l = -^bg
			$
			\item \begin{align*}
			^ba_m &= b_g+^ba_l\\ &=  ^b\mathbf{R}_w \cdot \begin{pmatrix}
			0 \\ 0\\ -g
			\end{pmatrix} \\
			&= 
			\begin{pmatrix}
			sin(\theta)g \\-cos(\theta)*sin(\phi)g \\ -cos(\theta)*cos(\phi)g 
			\end{pmatrix}\\
			^ba_{m,x}&=	sin(\theta)g \\
			\theta &= sin^{-1}(\frac{^ba_{m,x}}{g})\\
			^ba_{m,y} &= -g\cdot sin(\phi)\cdot \sqrt{1-\left(\frac{^ba_x}{g}\right)^2} \\
			\phi&= \sin^{-1} \left(-\frac{^ba_y}{g*\sqrt{1-\left(\frac{^ba_x}{g}\right)^2}}\right)
			 \end{align*}
	\end{enumerate}		
	\Aufgabe{}{8}
	\begin{enumerate}[(a)]
	\item \begin{align*}
		\frac{g*M}{RT_0} &=: \beta\\
		\left[\beta\right] &= \dfrac{1}{m}\\
		\beta& \approx 1.1854 *10^{-4} \dfrac{1}{m}\\
		p_0 &= 101325 Pa\\
		p(a)&= p_0 \cdot exp(-\beta a)\\
		p(a)_{lin}&= p(\overline{a}) + p'(\overline{a})\cdot (\overline{a}-a)\\
		p'(\overline{a})& = -\beta\cdot p_0 \cdot exp(-\beta\overline{a})\\	
		p(a)_{lin}&= p_0 \cdot exp(-\beta\overline{a}) -\beta\cdot p_0 \cdot exp(-\beta\overline{a})\cdot (a-\overline{a})\\	
		&= p_0 \cdot exp(-\beta\overline{a})(1-\beta(a-\overline{a}))
	\end{align*}
	
	\item \begin{align*}
	\overline{a}_1&= 100m \\
p(a)_{lin1} &=	p_0 \cdot exp(-\beta100m)(1-\beta(a-100m))\\
	p(a)_{lin1} &= 101317.937 - 11.86959596*a \\
	\overline{a_2}&= 10000m\\
p(a)_{lin1} &=	p_0 \cdot exp(-\beta 10000m)(1-\beta(a-10000m))\\
	p(a)_{lin2} &= 67675.77342 - 3.670864739*a\\
	\end{align*}
	\item 	
	\begin{align*}
	\sigma_p= 5Pa\\
	p_{0l} &=101320Pa\\
	p_{0h} &=101330Pa\\
	p(a)_{lin1,p_{0l}} &= 101312.9373 - 11.86901024a\\
	p(a)_{lin1,p_{0h}} &= 101322.9366 - 11.87018168a\\
	\sigma_{a1} &= |\frac{p(a)_{lin1,p_{0l}}-p(a)_{lin1,p_{0h}}}{2}|\\
	&= |4.999651466 - 0.0005857190211a|\\
	p(a)_{lin2,p_{0l}} &= 100661.9642 - 10.66795293a\\
	p(a)_{lin2,p_{0h}} &= 100671.8993 - 10.66900582a\\
	\sigma_{a2} &= |\frac{p(a)_{lin2,p_{0l}}-p(a)_{lin2,p_{0h}}}{2}|\\
	&= |4.967526857 - 0.0005264485258a|
	\end{align*}
	Habe keinen Beleg gefunden wie man das Sigma wirklich berechnet. Das hier hab ich mir nur aus dem Kopf gezogen
	%TODO JP muss seine Lösung coden		
	\end{enumerate}	
     
    

\end{document}