\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\pagestyle{empty}


\topmargin-50pt

\newcounter{aufgabe}
\def\tand{&}


\newcommand{\makeTableLine}[2][0]{%
  \setcounter{aufgabe}{16}%TODO update
  \whiledo{\value{aufgabe} < 19}%TODO update
  {%
    #2\tand\stepcounter{aufgabe}%
  }
}

\newcommand{\aufgTable}[1]{
  \def\spalten{\numexpr #1 + 1 \relax}
  \begin{tabular}{|*{\spalten}{p{1cm}|}}
    \makeTableLine[\spalten]{A\theaufgabe}$\Sigma$~~\\ \hline
    \rule{0pt}{15pt}\makeTableLine[\spalten]{}\\
  \end{tabular}
}

\def\header#1#2#3#4#5#6#7{\pagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{flushleft}
{\bf #4}\\
#5
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{flushright}
#6 \vspace{0.5cm}\\
%                 Number of Columns    Definition of Columns      second empty line
% \begin{tabular}{|*{5}{C{1cm}|}}\hline A1&A2&A3&A4&$\Sigma$\\\hline&&&&\\\hline\end{tabular}\\\vspace*{0.1cm}
\aufgTable{#7}
\end{flushright}
\end{minipage}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\bf Übungsblatt #1}

{(Abgabe #3)}
\end{center}
}



%counts the exercisenumber
\newcounter{n}
\setcounter{n}{15} %TODO update

%Kommando für Aufgaben
%\Aufgabe{AufgTitel}{Punktezahl}
\newcommand{\Aufgabe}[2]{\stepcounter{n}
\textbf{Aufgabe \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)}


\begin{document}
    %\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
    \header{6}{}{2015-06-09}{Evolutionäre Algorithmen}{
    	\textit{Jan-Peter Hohloch}\\ \textit{Maximus Mutschler}
    }{SS 15}{3}%TODO update
    \vspace{0.5cm} \Aufgabe{Crossover-Operatoren}{6}\\
    \begin{enumerate}[(a)]
    	\item 
    	A=(1010110000)\\
    	B=(0011100011)\\
    	\begin{enumerate}[(i)]
    		\item 1-Punkt Crossover an 4 : A'=(1010|\textbf{100011}) B'=(0011|\textbf{110000})
    		\item 2-Punkt Crossover an 3,7 : A'=(101|\textbf{1100}|000)   B'=(001|\textbf{0110}|000)
    		\item Uniformes Crossover 2,4,6,8: A'=(1\textbf{0}1\textbf{1}1\textbf{0}0\textbf{0}00)   B'=(0\textbf{0}1\textbf{0}1\textbf{1}0\textbf{0}11)
    	\end{enumerate}
    	\item
    	C=(9,4,6,7,1,2,10,8,5,3)\\
    	D=(7,3,8,10,5,4,2,9,6,1)\\
    	\begin{enumerate}[(i)]
    		\item Partially matched Xover: 3,7 C'=(9,\textbf{2},6|\textbf{10,5,4,2}|8,\textbf{1},3) D'=(\textbf{2},3,8|\textbf{7,1,2,10}|9,6,\textbf{5})
    		\item order xover 1,4 C'=(7|3,8,10|1,2,5,9,4,6) D'=(10|4,6,7|5,2,9,1,3,8)
    		\item Cycle Xover in C, 5 . C'=C=(9,4,6,7,1,2,10,8,5,3) D'=D=(7,3,8,10,5,4,2,9,6,1)
    	\end{enumerate}
     \end{enumerate}
     \Aufgabe{Selektionswahrscheinlichkeit}{6}\\
     $P_{Sorted}=(110110,110101,001011,010011,010100)$\\
     \begin{enumerate}[(a)]
     	\item Lineares Ranking\\$p_i=\frac{1}{\lambda}\left(\mu^+-(\mu^+-\mu^-)\dfrac{i-1}{\lambda-1}\right)$\\
     	$\mu^+=1\\
     	\mu^-=1
     	\lambda = 5\\
     	p_i=\frac{1}{5}$ für alle i\\
     	$
     	\mu^+=2\\
     	\mu^-=0\\
     	p_i=\dfrac{1}{5}(2-\dfrac{2(i-1)}{4})= \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{10}(i-1)=\dfrac{5-i}{10}\\
     	p_1=0.4\\
     	p_2=0.3\\
     	p_3=0.2\\
     	p_4=0.1\\
     	p_5=0\\
     	$
     	\item nicht lineares ranking\\
     	$ p_i=c(1-c)^{i-1}
     	\\c=0.04\\
     	p_i= 0.04(0.96)^{i-1}\\
     	p_1=0.04*1= 0.04\cdot s= 0.217\\
     	p_2=0.04*0.96= 0.0384\cdot s= 0.208\\
     	p_3=0.04*(0.96)^2= 0.036864\cdot s=0.2\\
     	p_4=0.04*(0.96)^3= 0.03538944\cdot s=0.192\\
     	p_5=0.04*(0.96)^4= 0.0339738624\cdot s=0.183\\
     	Saklierungsfaktor=s =  5.41632   	
     	$
     	\item tournament selektion \\
     	$
     	p_i= \dfrac{1}{\lambda^q}((\lambda-i+1)^q-(\lambda-i)^q)\\
     	\lambda =5\\
     	p=2\\
     	p_i= \dfrac{1}{25}((6-i)^2-(5-i)^2)= \dfrac{1}{25}(36-12i+i^2-25+10i-i^2)= \dfrac{11-2i}{25} \\
     	p_1=\dfrac{9}{25}\\
     	p_2=\dfrac{7}{25}\\
     	p_3=\dfrac{5}{25}\\
     	p_4=\dfrac{3}{25}\\
     	p_5=\dfrac{1}{25}\\
     	$
     \end{enumerate}
     \Aufgabe{ Population-based Incremental Learning -}{8}
     \begin{enumerate}[(a)]
     	\item $f_{twin}=\left| \sum_{i=1}^{\frac{l}{2}}a_i- \sum_{i=1+\frac{l}{2}}^{l}a_i\right| = f_{twin}=\left| \sum_{i=1}^{3}a_i- \sum_{i=4}^{6}a_i\right|\\
     	\mu = 2\\
     	\eta = \frac{1}{5}\\
     	l = 6\\
     	P_i=P_i*(1-\eta)+a_{ij}\eta = P_i +\frac{1}{5}\cdot(a_{ij}-P_i)\\
     	f(1)=-2 ,f(2)=0,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=1,f(6)=-1\\
     	$
     	Beste 2 Kinder:$ 4:(111010),5:(101010)$\\
     	P mit Kind 4:$ (\frac{3}{5},\frac{3}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5})$\\
     	$P_{twin}(1)$ mit Kind 4 und 5: $(\frac{17}{25},\frac{12}{25},\frac{17}{25},\frac{8}{25},\frac{17}{25},\frac{8}{25})$
     	\item $
     	f_{bmax}=\sum_{i=1}^{6}a_i\\
     	f(1)=2, f(2)=2,f(3)=4,f(4)=4,f(5)=3,f(6)=3$\\
     	Beste 2 Kinder: 3:$(011101), 4:(111010)$\\
     	P  mit Kind 4: $(\frac{3}{5},\frac{3}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5})$\\
     	$P_{bmax}(1)$ mit Kind 3 und 4: $(\frac{12}{25},\frac{17}{25},\frac{17}{25},\frac{13}{25},\frac{12}{25},\frac{13}{25})$\\
     	\item 
     	max $f_{bmax}=6$\\
     	max $f_{twin}=3$\\
     	\item$
     	f_{twin}(P(0))= 0 \\
     	f_{twin}(P(1))= \frac{13}{25}=0.52\\
     	f_{bmax}(P(0))= 3 \\
     	f_{bmax}(P(1))= \frac{84}{25}= 3.36 \\
     	$
     	Die Fitness von $P_{pmax}$ ist 2.64 und die  von $P_{tmin}$ 2.58 von ihrem Maximum entfernt. Durch die verschiedenen Fitnessfunktionen sind andere Kinder Maxima in der aktuellen Population, wodurch sich die ermittelten Wahrscheinlichkeiten verändern und es zu einem unterschiedlichen Fortschritt kommt. %TODO  
     	Auf Gundlage der Änderung zwischen Schritt 0 und 1 wird PBIL auf $f_{twin}$ schneller konvergieren da es die höhere Änderungsrate hat \TODO
     	\item Todo keine ahnung, kann hier nicht denken  %TODO
     \end{enumerate}
\end{document}

