\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{amsmath} %erweiterte Mathe-Zeichen
\usepackage{amsfonts} %weitere fonts
\usepackage[utf8]{inputenc} %Umlaute & Co
\usepackage{hyperref} %Links
\usepackage{ifthen} %ifthenelse
\usepackage{enumerate}
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\usepackage{algpseudocode} %Pseudocode
\usepackage{dsfont} % schöne Zahlenräumezeichen
\usepackage{amssymb, amsthm} %noch stärker erweiterte Mathe-Zeichen
\usepackage{tikz} %TikZ ist kein Zeichenprogramm
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\usepackage{qtree}
\usepackage{listings}
\lstset{language=Matlab}

\pagestyle{empty}


\topmargin-50pt

\newcounter{aufgabe}
\def\tand{&}

\newcommand{\makeTableLine}[2][0]{%
  \setcounter{aufgabe}{1}%
  \whiledo{\value{aufgabe} < #1}%
  {%
    #2\tand\stepcounter{aufgabe}%
  }
}

\newcommand{\aufgTable}[1]{
  \def\spalten{\numexpr #1 + 1 \relax}
  \begin{tabular}{|*{\spalten}{p{1cm}|}}
    \makeTableLine[\spalten]{A\theaufgabe}$\Sigma$~~\\ \hline
    \rule{0pt}{15pt}\makeTableLine[\spalten]{}\\
  \end{tabular}
}

\def\header#1#2#3#4#5#6#7{\pagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{flushleft}
{\bf #4}\\
#5
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{flushright}
#6 \vspace{0.5cm}\\
%                 Number of Columns    Definition of Columns      second empty line
% \begin{tabular}{|*{5}{C{1cm}|}}\hline A1&A2&A3&A4&$\Sigma$\\\hline&&&&\\\hline\end{tabular}\\\vspace*{0.1cm}
\aufgTable{#7}
\end{flushright}
\end{minipage}
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large\bf Assignment #1}

{(Hand-in date #3)}
\end{center}
}



%counts the exercisenumber
\newcounter{n}

%Kommando für Aufgaben
%\Aufgabe{AufgTitel}{Punktezahl}
\newcommand{\Aufgabe}[2]{\stepcounter{n}
\textbf{Exercise \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)}

\newcommand{\Normal}[3]{\mathcal{N}\left(#1,#2,#3\right)}
\newcommand{\Normalf}[3]{\frac{\left|#3\right|^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left(#1 - #2 \right)^2\cdot \left(#3\right)^{-1}}{2}}}

\begin{document}
    %\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
    \header{11}{}{2015-07-14}{Mobile Robots}{
        \textit{Jan-Peter Hohloch}\\ \textit{Maximus Mutschler}
    }{SS 15}{3}
    \vspace{0.2cm}
    \Aufgabe{Graph Search}{8}
        \begin{enumerate}[(a)]
            \item $(s)\rightarrow s:(b,e)\rightarrow b:(e,a,c)\rightarrow e:(a,c,f,g)\rightarrow a:(c,f,g)\\\rightarrow c:(f,g,d)\rightarrow f:(g,d,h,z)\rightarrow z$ found $path=(s,e,f,z)$
            \item $((s,0))\rightarrow s: ((b,1),(e,1))\rightarrow b: ((e,1),(a,2),(c,7))\rightarrow e: ((a,2),(g,2),(c,7),(f,7)) \\\rightarrow a:((g,2),(c,5),(f,7))\rightarrow g: ((h,3),(c,5),(f,7),(z,8))\\\rightarrow h:((z,4),(c,5),(f,7))\rightarrow (z,4), path=(s,e,g,h,z)$
            \item $(s,0+2)\rightarrow s:((e,1+1),(b,1+3))\rightarrow e:((g,2+0),(b,1+3),(f,7+1))\\\rightarrow g:((b,1+3),(h,3+1),(z,8+0))\rightarrow b:((h,3+1),(a,2+4),(z,8+0),(c,7+3))\\\rightarrow h:((z,4+0),(a,2+4),(c,7+3))\rightarrow z: path=(s,e,g,h,z)$\\

        \end{enumerate}
    \Aufgabe{Nonholonomic Constraints}{4}
        \begin{enumerate}[(a)]

            \item $f(t,\vec{q},\dot{\vec{q}})=\begin{pmatrix}

                0&1&0
            \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
                \cos\theta&\sin\theta&0\\
                -\sin\theta&\cos\theta&0\\
                0&0&1
            \end{pmatrix}\dot\vec q\\
            =\begin{pmatrix}
                -\sin\theta & \cos\theta & 0
            \end{pmatrix}\dot\vec q \\
            = -\dot x \sin\theta + \dot y \cos\theta\\=0$

            \item nonholonomic, because the derivative of q is used\\
        \end{enumerate}
    \Aufgabe{Reeds-Shepp-Curves}{8}
        \begin{enumerate}[(a)]
            \item As the tangent is always perpendicular to the radius there are right triangles. So for $r_1=r_2=r$ we can calculate:\\
            $d=2\cdot \sqrt{\left(\frac{1}{2}dist(\mathbf{s'},\mathbf{g'})\right)^2-r^2}$\\
            For $r_1\not=r_2$ we can use:\\
            $d=\sqrt{dist(\mathbf{s'},\mathbf{g'})^2-(r_1+r_2)^2}$\\
            There geometrical explanation is to translate $r_2$ and append it to $r_1$. Then there is only one right triangle and we again can calculate the pythagorean.
            \item $\delta(\alpha_r,\mathbf{s'},\mathbf{g'},\alpha_l)=r\alpha_r+d+r\alpha_l=r\alpha_r+2\cdot\sqrt{\left(\frac{1}{2}dist(\mathbf{s'},\mathbf{g'})\right)^2-r^2}+r\alpha_l$
            \item $\delta(\alpha_r,\mathbf{s'},\mathbf{g'},\alpha_l)=r_1\alpha_r+d+r_2\alpha_l=r_1\alpha_r+\sqrt{dist(\mathbf{s'},\mathbf{g'})^2-(r_1+r_2)^2}+r_2\alpha_l$
            %passt
        \end{enumerate}
\end{document}

