diff --git a/ea/Ub2/ea2.pdf b/ea/Ub2/ea2.pdf index 8e90a11..f8c43f6 100644 --- a/ea/Ub2/ea2.pdf +++ b/ea/Ub2/ea2.pdf Binary files differ diff --git a/ea/Ub2/ea2.tex b/ea/Ub2/ea2.tex index bdad7a2..e617dc4 100644 --- a/ea/Ub2/ea2.tex +++ b/ea/Ub2/ea2.tex @@ -111,7 +111,7 @@ \end{itemize} \end{itemize} \end{enumerate} - +\pagebreak \Aufgabe{Monte-Carlo-Algorithmus}{6} \begin{enumerate}[(a)] \item Suchraum $\left|\{0,1\}\right|^6=2^6=64$, $p=\frac{1}{64}$\\ @@ -132,14 +132,21 @@ \item Ein bekanntes Beispiel ist die Berechnung der Kreiszahl $\pi$ mittels eines two-sided Monte-Carlo-Algorithmus. Hierbei werden zufällig Punkte in einem Quadrat (Seitenlänge $a$) erzeugt, in dem ein Kreis (Durchmesser $a$) liegt. Aus der Häufigkeit mit der die Punkte im Kreis liegen, lässt sich seine Fläche und damit $\pi$ schätzen. ($A=\pi\cdot \frac{a^2}{4}$ vs. $A=a^2$ $\Rightarrow P(\text{Kreis})=\frac{\pi}{4}$) (vgl. \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Algorithmus#Probabilistische_Bestimmung_der_Zahl_Pi}{Wikipedia}) \end{enumerate} - +\pagebreak \Aufgabe{Gradientenverfahren}{7} \begin{enumerate}[(a)] - \item $f'(x)=-\sin(x+2)+\frac{1}{2}$. Lokale Extrema in Nullstellen der Ableitung:\\ - $f'(x)=0\Leftrightarrow -\sin(x+2)+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow \sin(x+2)=\frac{1}{2}$\\ - $\sin(a)=\frac{1}{2}\Rightarrow a=\frac{1}{6}\pi + k\cdot 2\pi \text{ oder } a=\frac{5}{6}\pi + k\cdot 2\pi,\ k\in\mathds{Z}$\\ - $a \in [-2\pi+2,2\pi+2]\Rightarrow a_1=-\frac{7}{6}\pi,\ a_2=\frac{1}{6}\pi,\ a_3=\frac{5}{6}\pi,\ a_4=\frac{13}{6}\pi$\\ - $\Rightarrow x_1=$ + \item $f'(x)=-\sin(x+2)+\frac{1}{2}$. Lokale Extrema in + Nullstellen der Ableitung:\\ + $f'(x)=0\Leftrightarrow -\sin(x+2)+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow \sin(x+2)=\frac{1}{2},\ \alpha=x+2$\\ + $\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha=\frac{1}{6}\pi + k\cdot 2\pi \text{ oder } \alpha=\frac{5}{6}\pi + k\cdot 2\pi,\ k\in\mathds{Z}$\\ + $\alpha \in [-2\pi+2,2\pi+2]\Rightarrow \alpha_1=-\frac{7}{6}\pi,\ \alpha_2=\frac{1}{6}\pi,\ \alpha_3=\frac{5}{6}\pi,\ \alpha_4=\frac{13}{6}\pi$\\ + $\Rightarrow x_1=-\frac{7}{6}\pi-2\approx -5.665$, $x_2\approx -1.476$, $x_3\approx 0.618$, $x_4\approx 4.807$\\ + $f''(x)=-\cos(x+2) \Rightarrow$ Maxima: $x_2,x_4$, Minima: $x_1,x_3$\\ + $f(x_1)