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@@ -72,8 +72,6 @@
 \textbf{Aufgabe \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)\\}
 
 
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 \begin{document}
     %\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
     \header{2}{}{2015-05-05}{Evolutionäre Algorithmen}{
@@ -93,6 +91,26 @@
             \item Lokale Maxima liegen in $0$ und $63$. %TODO
         \end{enumerate}
 
+    \Aufgabe{Monte-Carlo-Algorithmus}{6}
+        \begin{enumerate}[(a)]
+            \item Suchraum $\left|\{0,1\}\right|^6=2^6=64$, $p=\frac{1}{64}$\\
+                $P(a^*\text{ nach n Würfen})=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(1-p)^kp=p\cdot\frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)}=1-(1-p)^n$\\
+                gefordert: $P\geq 0.95$\\
+                \begin{align*}
+                    &1-(1-p)^n &\geq& 0.95\\
+                    \Leftrightarrow &(1-p)^n &\leq& 0.05\\
+                    \Leftrightarrow &\left(\frac{63}{64}\right)^n &\leq& 0.05\\
+                    \Leftrightarrow &n\log\left(\frac{63}{64}\right) &\leq& \log(0.05)\\
+                    \Leftrightarrow &n&\geq& \frac{\log 0.05}{\log \frac{63}{64}}
+                \end{align*} $\Rightarrow n\geq 194$\\
+                Codiert man Zahlen im Zehnersystem, so vergrößert sich der Suchraum bei gleichbleibender Stellenzahl: $\left|\{0,1,\dots, 9\}\right|=10^6$ Dadurch verringert sich die Wahrscheinlichkeit das Optimum zu ziehen $p=10^{-6}$\\
+                Für $n$ gilt dann: $n\geq\frac{\log 0.05}{\log \frac{10^6-1}{10^6}}\approx 2.99\cdot 10^6$
+            \item Man kann manuell würfeln. Mögliche Zufallsfolge: $46,33,14$\\
+                Das Optimum wurde nicht gefunden. Auch könnte der Algorithmus noch viele Iterationen benötigen, bis er terminiert. Darin besteht schon ein Gegensatz zum Bit-Climber. Dieser hält bereits nach dem vierten Versuch. Bei einer anderen Zufallsfolge ($23$ enthalten) würde der Monte-Carlo-Algorithmus jedoch schneller terminieren.\\
+                Außerdem muss für den aus der VL bekannten Monte-Carlo-Algorithmus das Optimum bereits bekannt sein, während der Bit-Climber lediglich die Fitnessfunktion benötigt. Im gegebenen Beispiel ergibt jedoch die Suche nach einem bekannten Optimum keinen Sinn.
+            \item Ein bekanntes Beispiel ist die Berechnung der Kreiszahl $\pi$ mittels eines two-sided Monte-Carlo-Algorithmus. Hierbei werden zufällig Punkte in einem Quadrat (Seitenlänge $a$) erzeugt, in dem ein Kreis (Durchmesser $a$) liegt. Aus der Häufigkeit mit der die Punkte im Kreis liegen, lässt sich seine Fläche und damit $\pi$ schätzen. ($A=\pi\cdot \frac{a^2}{4}$ vs. $A=a^2$ $\Rightarrow P(\text{Kreis})=\frac{\pi}{4}$)
+        \end{enumerate}
+
     \Aufgabe{Gradientenverfahren}{7}
         \begin{enumerate}[(a)]
             \item $f'(x)=-\sin(x+2)+\frac{1}{2}$. Lokale Extrema in Nullstellen der Ableitung:\\