\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{algpseudocode} %Pseudocode
\usepackage{dsfont} % schöne Zahlenräumezeichen
\usepackage{amssymb, amsthm} %noch stärker erweiterte Mathe-Zeichen
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\pagestyle{empty}


\topmargin-50pt

\newcounter{aufgabe}
\def\tand{&}

\newcommand{\makeTableLine}[2][0]{%
  \setcounter{aufgabe}{1}%
  \whiledo{\value{aufgabe} < #1}%
  {%
    #2\tand\stepcounter{aufgabe}%
  }
}

\newcommand{\aufgTable}[1]{
  \def\spalten{\numexpr #1 + 1 \relax}
  \begin{tabular}{|*{\spalten}{p{1cm}|}}
    \makeTableLine[\spalten]{A\theaufgabe}$\Sigma$~~\\ \hline
    \rule{0pt}{15pt}\makeTableLine[\spalten]{}\\
  \end{tabular}
}

\def\header#1#2#3#4#5#6#7{\pagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{flushleft}
{\bf #4}\\
#5
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{flushright}
#6 \vspace{0.5cm}\\
%                 Number of Columns    Definition of Columns      second empty line
% \begin{tabular}{|*{5}{C{1cm}|}}\hline A1&A2&A3&A4&$\Sigma$\\\hline&&&&\\\hline\end{tabular}\\\vspace*{0.1cm}
\aufgTable{#7}
\end{flushright}
\end{minipage}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\bf Assignment #1}

{(Abgabe #3)}
\end{center}
}



%counts the exercisenumber
\newcounter{n}

%Kommando für Aufgaben
%\Aufgabe{AufgTitel}{Punktezahl}
\newcommand{\Aufgabe}[2]{\stepcounter{n}
\textbf{Aufgabe \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)\\}




\begin{document}
    %\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
    \header{1}{}{2015-04-28}{Mobile Robots}{
    	\textit{Jan-Peter Hohloch}\\ \textit{Maximus Mutschler}
    }{SS 15}{4}
    \vspace{1cm}
    
    \Aufgabe{}{7}
	    \begin{enumerate}[(a)]
		    \item $ \mathbf{R_z(\alpha)}= % %\begin{pmatrix}
		   % &&&\\
		   % &&&\\
		   % &&&\\
		   % &&&\\
		   % \end{pmatrix} 
		   \begin{pmatrix}
		   cos(\alpha)&-sin(\alpha)&0&0\\
		   sin(\alpha)&cos(\alpha)&0&0\\
		   0&0&1&0\\
		   0&0&0&1
		   \end{pmatrix}\\
		   \\
		   \mathbf{Trans}=
		   \begin{pmatrix}
		   1&0&0&t_x\\
		   0&1&0&t_y\\
		   0&0&1&t_z\\
		   0&0&0&1
		   \end{pmatrix}$
		   \item $\mathbf{T}_b= \mathbf{Trans}\cdot\mathbf{R_z(\alpha)}=
		   		   \begin{pmatrix}
		   		   cos(\alpha)&-sin(\alpha)&0&t_x\\
		   		   sin(\alpha)&cos(\alpha)&0&t_y\\
		   		   0&0&1&t_z\\
		   		   0&0&0&1
		   		   \end{pmatrix}\\$
		   \item  $\mathbf{T}_c= \mathbf{R_z(\alpha)\cdot\mathbf{Trans}}=
		   			   \begin{pmatrix}
		   			   cos(\alpha)&-sin(\alpha)&0&0\\
		   			   sin(\alpha)&cos(\alpha)&0&0\\
		   			   0&0&1&0\\
		   			   0&0&0&1
		   			   \end{pmatrix}\cdot
		   			    \begin{pmatrix}
		   			    1&0&0&t_x\\
		   			    0&1&0&t_y\\
		   			    0&0&1&t_z\\
		   			    0&0&0&1
		   			    \end{pmatrix} =\\
		   			    \begin{pmatrix}
		   			    cos(\alpha)&-sin(\alpha)&0&xcos(\alpha)-ysin(\alpha)\\
		   			    sin(\alpha)&cos(\alpha)&0&ycos(\alpha)+xsin(\alpha)\\
		   			    0&0&1&z\\
		   			    0&0&0&1
		   			    \end{pmatrix} $
		 \item $\mathbf{^BT_A} =\mathbf{Trans}(2,-1,1)\cdot\mathbf{R_x}(\frac{\pi}{2})\cdot\mathbf{R_z}(\frac{\pi}{2})\\=
		 	    \begin{pmatrix}
		 	    1&0&0&2\\
		 	    0&1&0&-1\\
		 	    0&0&1&1\\
		 	    0&0&0&1
		 	    \end{pmatrix} \cdot
		 	    \begin{pmatrix}
		 	     1&0&0&0\\
		 	     0&0&-1&0\\
		 	     0&1&0&0\\
		 	     0&0&0&1\\
		 	    \end{pmatrix}  \cdot
		 	     \begin{pmatrix}
		 	     0&-1&0&0\\
		 	     1&0&0&0\\
		 	     0&0&1&0\\
		 	     0&0&0&1\\
		 	     \end{pmatrix}\\=
		 	      \begin{pmatrix}
		 	      0&-1&0&2\\
		 	      0&0&-1&-1\\
		 	      1&0&0&1\\
		 	      0&0&0&1\\
		 	      \end{pmatrix}\\$
      \item $ \mathbf{^AT_B} = 
      \begin{pmatrix}
      0&0&1&-1\\
      -1&0&0&2\\
      0&-1&0&-1\\
      0&0&0&1\\
      \end{pmatrix}\\$
		 
	    \end{enumerate}
	    	
    \Aufgabe{}{3}
     \begin{enumerate}[(a)]
     \item{Grid Based Representation}\\
     + p(x) directly determinable for every box\\
     - spatially limited on the size of the grid\\
     - possibilities unprecise due to boxes
     \item {Sampling Based Representation}\\
     +high accuracy \\+ unending domain\\- p(x) not directly determinable\\
     -  limited number of samples
     \item {Parameter Based Representation}\\
     +p(x) directly determinable for each x \\- possible low accuracy due to approximation
     
     \end{enumerate}
    \Aufgabe{}{5}
    \begin{enumerate}[(a)]
   
    \item $ \mu_S =\begin{pmatrix}
    \frac{7}{3}\\
    \frac{7}{3}\\
    \frac{17}{6}\\
     \end{pmatrix}\\$

\item $\Sigma_S=    
    \begin{pmatrix}
    	\frac{8}{3}&\frac{16}{15}&\frac{22}{15}\\
    	\frac{16}{15}&\frac{34}{15}&\frac{7}{15}\\
    	\frac{22}{15}&\frac{7}{15}&\frac{89}{30}\\
    \end{pmatrix}\\$
 
  \item $ N(\mu,\Sigma) = \frac{1}{(2\pi)^(\frac{\pi}{2})|\Sigma|^(\frac{1}{2})}e^{(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) )}\\
	|\Sigma_S|= \frac{264}{25}\\
	\Sigma^{-1} = 
	 \begin{pmatrix}
	 \frac{61}{99}&\frac{-31}{132}&\frac{-53}{198}\\
	 \frac{-31}{132}&\frac{6}{11}&\frac{1}{33}\\
	 \frac{-53}{198}&\frac{1}{33}&\frac{46}{99}\\
	 \end{pmatrix}\\
	 P\begin{pmatrix}
		 2\\2\\3
	 \end{pmatrix}= 0.1947\\
    $
     \end{enumerate}
    \Aufgabe{}{5}
\begin{enumerate}[(a)]

\item $\mu_y= \begin{pmatrix}
2\\3
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
0,5&1\\2&0.5
\end{pmatrix}\\$
\item $\mu_y=\begin{pmatrix}
4\\-2
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
-2&4\\8&-2
\end{pmatrix}\\$
\item$ \mu_y=\begin{pmatrix}
\frac{2}{\Delta t}\\\frac{1}{\Delta t}
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\Delta t^2}&\frac{1}{\Delta t^2}\\
\frac{2}{\Delta t^2}&\frac{1}{2\Delta t^2}
\end{pmatrix}\\$
\item $\mu_y=?\\
\Sigma_y=?$

\end{enumerate}
    %TODO Aufgaben bearbeiten

\end{document}