\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{dsfont} % schöne Zahlenräumezeichen
\usepackage{amssymb, amsthm} %noch stärker erweiterte Mathe-Zeichen
\usepackage{tikz} %TikZ ist kein Zeichenprogramm
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\pagestyle{empty}
\topmargin-50pt
\newcounter{aufgabe}
\def\tand{&}
\newcommand{\makeTableLine}[2][0]{%
\setcounter{aufgabe}{1}%
\whiledo{\value{aufgabe} < #1}%
{%
#2\tand\stepcounter{aufgabe}%
}
}
\newcommand{\aufgTable}[1]{
\def\spalten{\numexpr #1 + 1 \relax}
\begin{tabular}{|*{\spalten}{p{1cm}|}}
\makeTableLine[\spalten]{A\theaufgabe}$\Sigma$~~\\ \hline
\rule{0pt}{15pt}\makeTableLine[\spalten]{}\\
\end{tabular}
}
\def\header#1#2#3#4#5#6#7{\pagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{flushleft}
{\bf #4}\\
#5
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{flushright}
#6 \vspace{0.5cm}\\
% Number of Columns Definition of Columns second empty line
% \begin{tabular}{|*{5}{C{1cm}|}}\hline A1&A2&A3&A4&$\Sigma$\\\hline&&&&\\\hline\end{tabular}\\\vspace*{0.1cm}
\aufgTable{#7}
\end{flushright}
\end{minipage}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\bf Assignment #1}
{(Abgabe #3)}
\end{center}
}
%counts the exercisenumber
\newcounter{n}
%Kommando für Aufgaben
%\Aufgabe{AufgTitel}{Punktezahl}
\newcommand{\Aufgabe}[2]{\stepcounter{n}
\textbf{Aufgabe \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)\\}
\begin{document}
%\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
\header{1}{}{2015-04-28}{Mobile Robots}{
\textit{Jan-Peter Hohloch}\\ \textit{Maximus Mutschler}
}{SS 15}{4}
\vspace{1cm}
\Aufgabe{}{7}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $ \mathbf{R_z(\alpha)}=
\begin{pmatrix}
\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\
\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\\
\\
\mathbf{Trans}=
\begin{pmatrix}
1&0&0&t_x\\
0&1&0&t_y\\
0&0&1&t_z\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}$
\item $\mathbf{T}_b= \mathbf{Trans}\cdot\mathbf{R_z(\alpha)}=
\begin{pmatrix}
\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&t_x\\
\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&t_y\\
0&0&1&t_z\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\\$
\item $\mathbf{T}_c= \mathbf{R_z(\alpha)\cdot\mathbf{Trans}}=
\begin{pmatrix}
\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\
\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1&0&0&t_x\\
0&1&0&t_y\\
0&0&1&t_z\\
0&0&0&1
\end{pmatrix} =\\
\begin{pmatrix}
\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&t_x\cos(\alpha)-t_y\sin(\alpha)\\
\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&t_y\cos(\alpha)+t_x\sin(\alpha)\\
0&0&1&t_z\\
0&0&0&1
\end{pmatrix} $
\item \begin{align*}
\mathbf{^BT_A} &=\mathbf{Trans}(2,-1,1)\cdot\mathbf{R_x}(90^\circ)\cdot\mathbf{R_y}(-90^\circ)\\
&=\mathbf{Trans}(2,-1,1)\cdot \begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
0&0&-1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1&0&0&2\\
0&1&0&-1\\
0&0&1&1\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
0&0&-1&0\\
-1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0&0&-1&2\\
-1&0&0&-1\\
0&1&0&1\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
\end{align*}
\item $ \mathbf{^AT_B} =
\begin{pmatrix}
0&-1&0&-1\\
0&0&1&-1\\
-1&0&0&2\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\\$
\end{enumerate}
\Aufgabe{}{3}
\begin{enumerate}[(a)]
\item{Grid Based Representation}\\
+ p(x) directly determinable for every box\\
- spatially limited on the size of the grid\\
- possibilities unprecise due to boxes
\item {Sampling Based Representation}\\
+high accuracy \\+ unending domain\\- p(x) not directly determinable\\
- limited number of samples
\item {Parameter Based Representation}\\
+p(x) directly determinable for each x \\- possible low accuracy due to approximation
\end{enumerate}
\Aufgabe{}{5}
Die Aufgabe wurde mit Hilfe von Mupad (symbolisches Rechen-Tool von Matlab) gelöst, da die Rechnung von Hand zu umfangreich wurde. Der Rechenweg findet sich in Abbildung: \ref{RA3}.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $ \mu_S =\begin{pmatrix}
\frac{7}{3}\\
\frac{7}{3}\\
\frac{17}{6}\\
\end{pmatrix}\\$
\item $\Sigma_S=
\begin{pmatrix}
\frac{8}{3}&\frac{16}{15}&\frac{22}{15}\\
\frac{16}{15}&\frac{34}{15}&\frac{7}{15}\\
\frac{22}{15}&\frac{7}{15}&\frac{89}{30}\\
\end{pmatrix}\\$
\item $ N(\mu,\Sigma) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}e^{(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) )}\\
|\Sigma_S|= \frac{264}{25}\\%TODO: wrong exponents?
\Sigma^{-1} =
\begin{pmatrix}
\frac{61}{99}&\frac{-31}{132}&\frac{-53}{198}\\
\frac{-31}{132}&\frac{6}{11}&\frac{1}{33}\\
\frac{-53}{198}&\frac{1}{33}&\frac{46}{99}\\
\end{pmatrix}\\
P\begin{pmatrix}
2\\2\\3
\end{pmatrix}= 0.0184\\
$
\end{enumerate}
\Aufgabe{}{5}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\mu_y= \begin{pmatrix}
2\\3
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
1&0.5\\0.5&2
\end{pmatrix}\\$
\item $\mu_y=\begin{pmatrix}
4\\-2
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
4&-2\\-2&8
\end{pmatrix}\\$
\item$ \mu_y=\begin{pmatrix}
\frac{2}{\Delta t}\\\frac{1}{\Delta t}
\end{pmatrix}\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
\frac{1}{(\Delta t)^2}&\frac{1}{2(\Delta t)^2}\\
\frac{1}{2(\Delta t)^2}&\frac{2}{(\Delta t)^2}
\end{pmatrix}\\$
\item $\mu_y=2\mu_x+3\mu_z=\begin{pmatrix}
4\\2
\end{pmatrix}+3\mu_z\\
\Sigma_y=\begin{pmatrix}
2&0\\0&2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0.5\\0.5&2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2&0\\0&2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2&0\\0&2
\end{pmatrix}\Sigma_z \begin{pmatrix}
2&0\\0&2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4&2\\2&8
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2&0\\0&2
\end{pmatrix}\Sigma_z \begin{pmatrix}
2&0\\0&2
\end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{RechnungA3.pdf}
\caption{\label{RA3} Lösungsweg Aufgabe 3. Mupad Skript}
\end{figure}
\end{document}
Jan-Peter Hohloch