\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{graphicx} %BIlder einbinden
\usepackage{amsmath} %erweiterte Mathe-Zeichen
\usepackage{amsfonts} %weitere fonts
\usepackage[utf8]{inputenc} %Umlaute & Co
\usepackage{hyperref} %Links
\usepackage{ifthen} %ifthenelse
\usepackage{enumerate}
\usepackage{listings}
\lstset{language=Python}

\usepackage{algpseudocode} %Pseudocode
\usepackage{dsfont} % schöne Zahlenräumezeichen
\usepackage{amssymb, amsthm} %noch stärker erweiterte Mathe-Zeichen
\usepackage{tikz} %TikZ ist kein Zeichenprogramm
\usetikzlibrary{trees,automata,arrows,shapes}

\pagestyle{empty}


\topmargin-50pt

\newcounter{aufgabe}
\def\tand{&}


\newcommand{\makeTableLine}[2][0]{%
  \setcounter{aufgabe}{22}%TODO update
  \whiledo{\value{aufgabe} < 25}%TODO update
  {%
    #2\tand\stepcounter{aufgabe}%
  }
}

\newcommand{\aufgTable}[1]{
  \def\spalten{\numexpr #1 + 1 \relax}
  \begin{tabular}{|*{\spalten}{p{1cm}|}}
    \makeTableLine[\spalten]{A\theaufgabe}$\Sigma$~~\\ \hline
    \rule{0pt}{15pt}\makeTableLine[\spalten]{}\\
  \end{tabular}
}

\def\header#1#2#3#4#5#6#7{\pagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{flushleft}
{\bf #4}\\
#5
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{flushright}
#6 \vspace{0.5cm}\\
%                 Number of Columns    Definition of Columns      second empty line
% \begin{tabular}{|*{5}{C{1cm}|}}\hline A1&A2&A3&A4&$\Sigma$\\\hline&&&&\\\hline\end{tabular}\\\vspace*{0.1cm}
\aufgTable{#7}
\end{flushright}
\end{minipage}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\bf Übungsblatt #1}

{(Abgabe #3)}
\end{center}
}



%counts the exercisenumber
\newcounter{n}
\setcounter{n}{21} %TODO update

%Kommando für Aufgaben
%\Aufgabe{AufgTitel}{Punktezahl}
\newcommand{\Aufgabe}[2]{\stepcounter{n}
\textbf{Aufgabe \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)}


\begin{document}
    %\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
    \header{8}{}{2015-06-09}{Evolutionäre Algorithmen}{
    	\textit{Jan-Peter Hohloch}\\ \textit{Maximus Mutschler}
    }{SS 15}{3}%TODO update
    \vspace{0.5cm}
    \Aufgabe{Baumstrukturen}{6}\\
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Sei $k=0$. Ein Baum der Tiefe $0$ hat ein Blatt, $m^0=1\checkmark$\\
        Sei nun $k>0$. Jeder Baum hat höchstens $m$ Kinder, die selbst Bäume der Tiefe $<= k-1$ sind. Für ein beliebiges aber festes $k$ haben diese Teilbäume nun höchstens $m^{k-1}$ Blätter (IV). Es existieren wiederum höchstes $m$ dieser Teilbäume, ein Baum der Tiefe $k$ hat also höchstens $m\cdot m^{k-1}=m^k$ Blätter. \qed
        \item Ein Baum der Höhe $h$ hat mindestens $h+1$ Knoten. Ansonsten ist kein Pfad der Länge $h$ im Baum vorhanden. Mit $h+1$ Konten die genau den Pfad von Wurzel zu Blatt bilden, erreichen wir jedoch eine Höhe von $h$.
        \item Sei $h=0$. Ein Baum der Höhe $0$ hat einen Knoten: $\frac{m^{0+1}-1}{m-1}=\frac{m-1}{m-1}=1\checkmark$\\
        Sei nun $h>0$. Für ein beliebiges aber festes $h$ habe ein Baum $\frac{m^{h+1}-1}{m-1}$ Knoten. Die Blätter eines vollständigen Baumes der Höhe $h+1$ haben die Tiefe $h+1$. Es gibt also $m^{h+1}$ Blätter (Baum ist vollständig). Ein vollständiger Baum der Höhe $h+1$ hat also $\frac{m^{h+1}-1}{m-1}+m^{h+1}=\frac{m^{h+1}-1+m^{h+2}-m^{h+1}}{m-1}=\frac{m^{h+2}-1}{m-1}$ Knoten. \qed
        \item alter Baum: $x2\cdot (1+ x1^2) \cdot \sqrt{\frac{x1 +x2}{\sqrt{x1}}}\cdot \sin(x1+x2)$\\
        nach Crossover: $x2\cdot\sqrt{\frac{x1 +x2}{\sqrt{x1}}}\cdot (1+ x1^2) \cdot \sin(x1+x2)$\\
        Da die Multiplikation assoziativ und kommutativ ist, verändert die Formel sich nicht tatsächlich.
    \end{enumerate}
\end{document}

