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\pagestyle{empty}


\topmargin-50pt

\newcounter{aufgabe}
\def\tand{&}

\newcommand{\makeTableLine}[2][0]{%
\setcounter{aufgabe}{1}%
\whiledo{\value{aufgabe} < #1}%
{%
#2\tand\stepcounter{aufgabe}%
}
}

\newcommand{\aufgTable}[1]{
\def\spalten{\numexpr #1 + 1 \relax}
\begin{tabular}{|*{\spalten}{p{1cm}|}}
\makeTableLine[\spalten]{A\theaufgabe}$\Sigma$~~\\ \hline
\rule{0pt}{15pt}\makeTableLine[\spalten]{}\\
\end{tabular}
}

\def\header#1#2#3#4#5#6#7{\pagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{flushleft}
{\bf #4}\\
#5
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{flushright}
#6 \vspace{0.5cm}\\
%                 Number of Columns    Definition of Columns      second empty line
% \begin{tabular}{|*{5}{C{1cm}|}}\hline A1&A2&A3&A4&$\Sigma$\\\hline&&&&\\\hline\end{tabular}\\\vspace*{0.1cm}
\aufgTable{#7}
\end{flushright}
\end{minipage}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\bf Blatt #1}

{(Abgabe #3)}
\end{center}
}



%counts the exercisenumber
\newcounter{n}

%Kommando für Aufgaben
%\Aufgabe{AufgTitel}{Punktezahl}
\newcommand{\Aufgabe}[2]{\stepcounter{n}
\textbf{Aufgabe \arabic{n}: #1} (#2 Punkte)}

\newcommand{\textcorr}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\newenvironment{corr}{\color{red}}{\color{black}\newline}
\newcommand{\ok}{\begin{corr}
      $\checkmark$
  \end{corr}}

\begin{document}
%\header{BlattNr}{Tutor}{Abgabedatum}{Vorlesungsname}{Namen}{Semester}{Anzahl Aufgaben}
\header{3}{}{2015-11-03}{Kommunikationsnetze}{\textit{Jonas Jaszkowic, 3592719}\\\textit{Jan-Peter Hohloch, 3908712}}{WS 15/16}{4}
\vspace{1cm}
\Aufgabe{Signale und Spektren}{10+5+5}
    \begin{enumerate}
        \item \begin{itemize}
        Die periodische Sinusfunktion mit der Frequenz $T$ Hz hat im Frequenzraum einen einzigen diskreten Peak bei
        derselben Frequenz $T$. Die periodische Rechtecksfunktion mit der Frequenz $T$ hat im Frequenzraum diskrete Peaks
        bei den ungeraden Vielfachen von $\frac{2\pi}{T}$.
            \item Time domain: Schwarz die periodische Sinusfunktion, rot die periodische Rechtecksfunktion.\\
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = middle,
                        enlargelimits,
                        clip=false,
                        xlabel=t,
                        ylabel=f(t),
                        x=1cm,
                        y=0.7cm,
                        ]
                        \addplot[domain=-2*pi:2*pi,samples=200,black] {sin(deg(x))};
                        \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates {(-6,-1) (-6,1) (-5,1) (-5,-1) (-4,-1) (-4,1) (-3,1) (-3,-1) (-2,-1) (-2,1) (-1,1) (-1,-1) (0,-1) (0,1) (1,1) (1,-1) (2,-1) (2,1) (3,1) (3,-1) (4,-1) (4,1) (5,1) (5,-1) (6,-1)};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \item Frequency domain: Schwarz die periodische Sinusfunktion, rot die periodische Rechtecksfunktion.\\
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = middle,
                        enlargelimits,
                        clip=false,
                        xlabel=f,
                        ylabel=p(f),
                        x=1cm,
                        y=2cm,
                        ]
                        \addplot[thick,mark=none,const plot,black] coordinates {(1,0) (1,1)};
                        \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates {(1,0) (1,0.5)};
                        \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates {(3,0) (3,0.25)};
                        \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates {(5,0) (5,0.125)};
                        %\addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates {(7,0) (1,0.0625)};
                        %\addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates {(9,0) (3,0.03125)};
                        %\addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates {(11,0) (5,0.015175)};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
        \end{itemize}
        \item Periodische Signale sind im Frequenzraum diskret, aperiodische sind kontinuierlich.
        \item Durch den Tiefpassfilter werden die hohen Frequenzen herausgefiltert. Im Frequenzraum bedeutet das,
        dass alle Frequenzen oberhalb eines bestimmten Schwellenwertes auf 0 gesetzt werden. Dadurch verringert
        sich die davor unendliche Bandbreite auf eine stark begrenzte Bandbreite. Bei der Rekonstruktion beim Empfänger
        kann durch diesen Informationsverlust das Signal nicht perfekt rekonstruiert werden: Ecken werden hier dann durch
        möglichst hohe Frequenzen dargestellt. Trotzdem kann das Signal genügend gut rekonstruiert werden, da die Frequenzen
        mit niedriger Frequenz durch die hohe Amplitude die meiste Information tragen und auch erhalten bleiben.
    \end{enumerate}
\Aufgabe{Physikalische Übertragung}{5+5+5+5+5+5}
    \begin{enumerate}
        \item\begin{align*}
            SNR_{min} &= 27&=&10\cdot\log_{10} \frac{P_{2,min}}{1\mu W}\\
            \Leftrightarrow & P_{2,min}&=& 10^{2.7}\mu W\\
            &-0.3d &=& 10\cdot \log_{10} \frac{P_2}{1mW}\\
            \Leftrightarrow & P_2 &=& 10^{-0.03d}mW\\
            \Rightarrow & 10^{2.7}\mu W &\leq & 10^{-0.03d + 3}\mu W \\
            \Leftrightarrow & 2.7&\leq & -0.03d + 3\\
            \Leftrightarrow & 10 &\geq & d
        \end{align*}
        Das Kabel zwischen $P_1$und Amplifier sollte also höchstens $10km$ lang sein.
        \item $5km\cdot -0.5\frac{dB}{km}=-2.5dB$. Um die weitere Strecke zu überwinden muss das Signal also mit mindestens $2.5dB$ verstärkt werden.
        \item $SNR_{dB} = 10 * \log_{10}SNR$ daraus folgt mit $SNR_{dB} = 27$: $SNR = 10^{2.7}$
        \begin{align*}
            N &= B\cdot \log_2(1+10^{2.7})\\
            &= 4MHz\cdot \log_2(1+10^{2.7})\\
            &\approx 35.88\frac{Mbit}{s}
        \end{align*}
        \item \begin{align*}
            L &= 2^{\frac{N}{2B}}\\
            &= 2^\frac{35.88Mbit}{2\cdot 4MHz\cdot s}\\
            &\approx 2^{4.485}\\
            &\approx 22.39
        \end{align*}
        Wir benötigen also mindestens 23 Level.
        \item $2^5=32$, es kann also jedes Signal 5 bit übertragen, da $L=32$.
        \item Nach Nyquist (rauschfreier Kanal) ist die maximale Bitrate also $2\cdot B\cdot 5=40Mbit/s$
    \end{enumerate}
\Aufgabe{Shannon Kapazität}{15}
\begin{align*}
    N= & B\cdot \log_2\left(1+SNR\right) &\approx &  B\cdot \frac{10}{3}\log_{10} SNR\\
    \Leftrightarrow & 3\log_2\left(1+SNR\right) &\approx &  10\log_{10} SNR\\
    \Leftrightarrow & \underbrace{\frac{3\ln 10}{10\ln 2}}_{\approx 1} \underbrace{\ln\left(1+SNR\right)}_{\approx \ln SNR} &\approx &\ln SNR
\end{align*} \qed\pagebreak\\
\Aufgabe{Line Codes}{5+15+5+10}
    \begin{enumerate}
        \item unipolar NRZ: Signal: 101100101000\\
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                    axis lines = middle,
                    enlargelimits,
                    clip=false,
                    xlabel=t,
                    ylabel=V,
                    x=1cm,
                    y=0.7cm,
                    ]
                    \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates { (0,1) (1,0) (2,1) (3,1) (4,0) (5,0) (6,1) (7,0) (8,1) (9,0) (10,0) (11,0) (12,0)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \item \begin{itemize}
            \item NRZ-I: Signal: -1-11-1-1-111-1-1-1-1\\
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = middle,
                        enlargelimits,
                        clip=false,
                        xlabel=t,
                        ylabel=V,
                        x=1cm,
                        y=0.7cm,
                        ]
                        \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates { (0,-1) (1,-1) (2,1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) (6,1) (7,1) (8,-1) (9,-1) (10,-1) (11,-1) (12,-1)};
                    \end{axis}
            \end{tikzpicture}
            \item Polar RZ: Signal: 1-111-1-11-11-1-1-1\\
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                    axis lines = middle,
                    enlargelimits,
                    clip=false,
                    xlabel=t,
                    ylabel=V,
                    x=1cm,
                    y=1cm,
                    ]
                    \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates { (0,1) (0.5,1) (0.5,0) (1,0) (1,-1) (1.5,-1) (1.5,0) (2,0) (2,1) (2.5,1) (2.5,0) (3,0) (3,1) (3.5,1) (3.5,0) (4,0) (4,-1) (4.5,-1) (4.5,0) (5,0) (5,-1) (5.5,-1) (5.5,0) (6,0) (6,1) (6.5,1) (6.5,0) (7,0) (7,-1) (7.5,-1) (7.5,0) (8,0) (8,1) (8.5,1) (8.5,0) (9,0) (9,-1) (9.5,-1) (9.5,0) (10,0) (10,-1) (10.5,-1) (10.5,0) (11,0) (11,-1) (11.5,-1) (11.5,0) (12,0)
                    };
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
            \item Manchester: Signal: uduuddududdd (u=up, d=down)\\
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                    axis lines = middle,
                    enlargelimits,
                    clip=false,
                    xlabel=t,
                    ylabel=V,
                    x=1cm,
                    y=.7cm,
                    ]
                    \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates { (0,-1) (0.5,-1) (0.5,1) (1.5,1) (1.5,-1) (2.5,-1) (2.5,1) (3,1) (3,-1) (3.5,-1) (3.5,1) (4.5,1) (4.5,-1) (5,-1) (5,1) (5.5,1) (5.5,-1) (6.5,-1) (6.5,1) (7.5,1) (7.5,-1) (8.5,-1) (8.5,1) (9.5,1) (9.5,-1) (10,-1) (10,1) (10.5,1) (10.5,-1) (11,-1) (11,1) (11.5,1) (11.5,-1) (12,-1)
                    };
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{itemize}
        \item AMI: Signal: 10-1100-101000\\
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                    axis lines = middle,
                    enlargelimits,
                    clip=false,
                    xlabel=t,
                    ylabel=V,
                    x=1cm,
                    y=.7cm,
                    ]
                    \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates { (0,1) (1,0) (2,-1) (3,1) (4,0) (5,0) (6,-1) (7,0) (8,1) (9,0) (10,0) (11,0) (12,0)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \item \begin{itemize}
            \item PAM-5: Signal: 12-211-2\\
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                    axis lines = middle,
                    enlargelimits,
                    clip=false,
                    xlabel=t,
                    ylabel=V,
                    x=1cm,
                    y=0.7cm,
                    ]
                    \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates { (0,1) (2,2) (4,-2) (6,1) (8,1) (10,-2) (12,-2)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
            \item MLT-3: 110-1-1-1001111\\
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                    axis lines = middle,
                    enlargelimits,
                    clip=false,
                    xlabel=t,
                    ylabel=V,
                    x=1cm,
                    y=1cm,
                    ]
                    \addplot[thick,mark=none,const plot,red] coordinates { (0,1) (2,0) (3,-1) (6,0) (8,1) (12,1)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{itemize}
    \end{enumerate}
\end{document}