diff --git a/Blatt1/Aufgabe1.tex b/Blatt1/Aufgabe1.tex index e69de29..db4a5e0 100644 --- a/Blatt1/Aufgabe1.tex +++ b/Blatt1/Aufgabe1.tex @@ -0,0 +1,13 @@ +\newcommand{\cout}{\frac{[C]_{\text{out}}}{[C]_{\text{in}}}} +$\begin{array}[b]{rl} +E &= \frac{RT}{zF}\ln\cout = \frac{1.987\operatorname{cal}\operatorname{K}^{-1}\operatorname{mol}^{-1}\cdot 37^{\circ}\operatorname{C}}{z\cdot 96480\operatorname{C}\operatorname{mol}^{-1}}\ln\cout\\ +&= \frac{1.987\operatorname{cal}\operatorname{K}^{-1}\cdot 310.15\operatorname{K}}{z\cdot 96480\operatorname{C}} \ln\cout = +\frac{1.987\cdot 4.2 \operatorname{J} \cdot 310.15}{z\cdot 96480\operatorname{C}} \ln\cout\\ +&= \frac{1.987\cdot 4.2\cdot 310.15 \operatorname{VC}}{z\cdot 96480\operatorname{C}}\ln\cout = \frac{1.987\cdot 4.2\cdot 310.15 \operatorname{V}}{z\cdot 96480}\cdot\frac{\log_{10}\cout}{\log_{10}e}\\ +&=^* \frac{1.987\cdot 4.2\cdot 310.15 \operatorname{V}}{z\cdot 96480\cdot\log_{10}e}\log_{10}\cout \approx \frac{0.062\operatorname{V}}{z}\cdot\log_{10}\cout\\ +&= \frac{62\operatorname{mV}}{z}\log_{10}\cout +\end{array}\qed$\\ +Um das selbe für $T=20^{\circ}\operatorname{C}$ zu tun, nehmen wir den Term bei $*$ und ersetzen 310.15 (Grad Kelvin) durch die geänderte Temperatur (293.15):\\ +\[ +\frac{1.987\cdot 4.2\cdot 293.15 \operatorname{V}}{z\cdot 96480\cdot\log_{10}e}\log_{10}\cout \approx \frac{0.058\operatorname{V}}{z}\cdot\log_{10}\cout = \frac{58\operatorname{mV}}{z}\log_{10}\cout +\] \ No newline at end of file diff --git a/Blatt1/Aufgabe3.tex b/Blatt1/Aufgabe3.tex index e69de29..cad155c 100644 --- a/Blatt1/Aufgabe3.tex +++ b/Blatt1/Aufgabe3.tex @@ -0,0 +1,10 @@ +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] +\item $I_i = g_i(V-E_i)$\\ +$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}I_i = \sum_{i=1}^{n}g_i(V-E_i) = \sum_{i=1}^{n}(g_i\cdot V) - \sum_{i=1}^{n}(g_i\cdot E_i)\\ += V\sum_{i_1}^{n}g_i - \sum_{i=1}^{n}(g_i\cdot E_i)\\ +V\sum_{i_1}^{n}g_i - \sum_{i=1}^{n}(g_i\cdot E_i)\\ +\Leftrightarrow V = \frac{\sum_{i=1}^{n}(g_i\cdot E_i)}{\sum_{i=1}^{n}g_i}$ +\item Let $E_1 < E_2 (\dagger)$\\ +$E_1 = \frac{E_1(g_1+g_2)}{g_1+g_2}=\frac{E_1g_1 + E_1g_2}{g_1+g_2}\overset{\dagger}{\leq}\frac{E_1g_1 + E_2g_1}{g_1+g_2} = E$\\ +$E = \frac{E_1g_1 + E_2g_1}{g_1+g_2} \overset{\dagger}{\leq} \frac{E_2g_1 + E_2g_2}{g_1+g_2} = E_2$\qed +\end{enumerate} \ No newline at end of file diff --git a/Blatt1/Aufgabe4.tex b/Blatt1/Aufgabe4.tex index e69de29..399e5a6 100644 --- a/Blatt1/Aufgabe4.tex +++ b/Blatt1/Aufgabe4.tex @@ -0,0 +1,8 @@ +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] +\item $I_i = g_i \cdot V$, $I_e = g_e\cdot(V-E_e)$\\ +$I_i + I_e = 0 \Leftrightarrow g_i\cdot V + g_e\cdot V - g_e\cdot E_e = 0\\ +\Leftrightarrow V = \frac{g_e\cdot E_e}{g_i + g_e}$ +\item Let $g_e = 0 \Rightarrow V = \frac{0\cdot E_e}{g_i + g_e} = 0$\\ +In diesem Fall hängt $V$ nicht von $g_i$ ab. Wenn kein exibitorischer Input vorhanden ist und das Ruhepotential bei 0 liegt, sollte die inhibierende Synapse keinen Einfluss mehr nehmen können (das Mischpotential muss zwischen den Umkehrpotentialen beider Synapsen liegen). +\item $V\overset{g_e\to 0}{\longrightarrow}0$, $V\overset{g_e\to\infty}{\longrightarrow} E_e$ +\end{enumerate} \ No newline at end of file diff --git a/Blatt1/Blatt1.tex b/Blatt1/Blatt1.tex index d7ce23d..081a1ff 100644 --- a/Blatt1/Blatt1.tex +++ b/Blatt1/Blatt1.tex @@ -28,7 +28,7 @@ \begin{document} -\section*{Blatt 1} +\section*{Exercise 1} \subsection*{Task 1} \input{Aufgabe1.tex} \subsection*{Task 2}